Question

11．小鹏遇到这样一个问题，已知实数a、b（a＞0，b＞0），请问$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$是否有最小值，如果有请写出最小值并说明理由．
他找不到思路，开始翻阅笔记，发现此题可以用以前老师讲的“配方”来解决
笔记中写到：求x²+6x+9的最小值
步骤如下：x²+6x+9=x²+6x+3²=（x+3）²
∵无论x取任意实数，（x+3）²≥0
∴x²+6x+9的最小值是0
（1）小鹏发现代数式a²-2$\sqrt{3}$a+3可以用上面的方法找到最小值，请问最小值是多少，并说明理由；
（2）小鹏通过笔记和问题（1）的方案很快解决了上面的问题，请你完成解答过程．

Answer 1

分析 （1）根据题意和配方法可以解答本题；
（2）根据题意和（1）中的解答可以解答本题．

解答 解：（1）最小值是0，
理由：${a^2}-2\sqrt{3}a+3={a^2}-2\sqrt{3}a+{（\sqrt{3}）^2}={（a-\sqrt{3}）^2}$，
∵${（a-\sqrt{3}）^2}≥0$，
∴${a^2}-2\sqrt{3}a+3$的最小值是0；
（2）最小值是0，
理由：$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}+2\sqrt{ab}}{2}-\sqrt{ab}$，
∵$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}$≥0，
∴$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}+2\sqrt{ab}}{2}-\sqrt{ab}$≥$\frac{0+2\sqrt{ab}}{2}-\sqrt{ab}$=0，
即$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$有最小值，最小值是0．

点评 本题考查配方法、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用配方法和非负数的性质解答．