Question

11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A₁B₁C的位置，则线段AB扫过区域（图中的阴影部分）的面积为$\frac{25π}{8}$cm²．

Answer 1

分析 根据阴影部分的面积是：S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1，分别求得：扇形BCB₁的面积，S_△CB1A1，S_△ABC以及扇形CAA₁的面积，即可求解．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$cm，
扇形BCB₁的面积是=$\frac{45π×（\sqrt{29}）^{2}}{360}$=$\frac{29π}{8}$，
S_△CB1A1=$\frac{1}{2}$×5×2=5；
S_扇形CAA1=$\frac{45π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$．
故S_阴影部分=S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1
=$\frac{29π}{8}$+5-5-$\frac{π}{2}$
=$\frac{25π}{8}$．
故答案为：$\frac{25π}{8}$cm²．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理，扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1是关键．