Question

10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B₁（1，0），B₂（3，0），B₃（6，0），B₄（10，0），…，以B₁B₂为对角线作第一个正方形A₁B₁C₁B₂，以B₂B₃为对角线作第二个正方形A₂B₂C₂B₃，以B₃B₄为对角线作第三个正方形A₃B₃C₃B₄，…，如果所作正方形的对角线B_nB_n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A_n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），用n的代数式表示A_n的横坐标为$\frac{（π+1）^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用图形分别得出A点横坐标A₁，A₂，A₃，…的横坐标分别为：$\frac{4}{2}$，$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{2}$，$\frac{25}{2}$…，即可得出点A₅的横坐标为：$\frac{36}{2}$，点A_n的横坐标为：$\frac{（n+1）^{2}}{2}$，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．

解答 解：如图，分别过点A₁，A₂，A₃，作A₁D⊥x轴，A₂E⊥x轴，A₃F⊥x轴于点D，E，F，
∵B₁（1，0），
∴B₁B₂=3-1=2，B₁D，=1，OD=2，B₁D=A₁D=1，
可得出A₁（2，1），
∵B₂（3，0），
∴B₃B₂=6-3=3，EA₂=$\frac{3}{2}$，A₂E=EB₂=$\frac{3}{2}$，OE=6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
可得A₂（$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$），
同理可得出：A₃（8，2），A₄（$\frac{25}{2}$，$\frac{5}{2}$），…，
∵A₁，A₂，A₃，…的横坐标分别为：$\frac{4}{2}$，$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{2}$，$\frac{25}{2}$…，
∴点A_n的横坐标为：$\frac{（n+1）^{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

点评 此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出A点横纵坐标的规律是解答本题的关键．