Question

18．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长为6cm．

Answer 1

分析 先证∠AEF=∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．

解答 解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EDC=90°}\\{∠AEF=∠ECD}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（2AE+4）=32，
整理得：2AE+4=16
解得：AE=6（cm）．
故答案为6．

点评 本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．