Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=-1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PE=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②用分割法将四边形的面积S_{四边形BCPA}=S_△OBC+S_△OAC，得到二次函数，求得最值即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴二次函数的解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点坐标为（-1，4）；

（2）令y=-x²-2x+3=0，解得x=-3或x=1，
∴点A（-3，0），B（1，0），
作PD⊥x轴于点D，
∵点P在y=-x²-2x+3上，
∴设点P（x，-x²-2x+3）
①∵PA⊥NA，且PA=NA，
∴△PAD≌△ANQ，
∴AQ=PD，
即y=-x²-2x+3=2，
解得x=$\sqrt{2}$-1（舍去）或x=-$\sqrt{2}$-1，
∴点P（-$\sqrt{2}$-1，2）；
②设P（x，y），则y=-x²-2x+3，
由于P在第二象限，所以其横坐标满足：-3＜x＜0，
∵S_{四边形PABC}=S_△OBC+S_△APO+S_△OPC，
S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，
S_△APO=$\frac{1}{2}$AO•|y|=$\frac{1}{2}$×3•y=$\frac{3}{2}$y=$\frac{3}{2}$（-x²-2x+3）=-$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$，
S_△OPC=$\frac{1}{2}$CO•|x|=$\frac{1}{2}$×3•（-x）=-$\frac{3}{2}$x，
∴S_{四边形PABC}=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$x=6-$\frac{9}{2}$x-$\frac{3}{2}$x²=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，S_{四边形PABC最大值}=$\frac{75}{8}$，此时y=-x²-2x+3=$\frac{15}{4}$，
所以P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．求抛物线的最值的方法是配方法．