Question

14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=Rt∠，OA=OB=2，将△AOB绕点A按顺时针旋转至△AO′B′，使点O′落在以O为圆心，OA长为半径的圆上，则△AOB′的面积是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 首先连接O′O，过点B′作B′C⊥O′O于点C，由将△AOB绕点A按顺时针旋转至△AO′B′，可得△AOO′是等边三角形，则可得OO′B′是顶角为30°的等腰三角形，继而分别求得△AOO′，△OO′B′以及△AO′B′的面积，继而求得答案．

解答 解：连接O′O，过点B′作B′C⊥O′O于点C，
∵将△AOB绕点A按顺时针旋转至△AO′B′，
∴OA=OB=O′O=O′B′=2，∠AOB=∠AO′B′=90°，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠AO′B′=60°，
∴∠OO′B′=90°-∠AO′O=30°，
∴B′C=$\frac{1}{2}$O′O=1，
∴S_△AO′O=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，S_△B′O′O=$\frac{1}{2}$×2×1=1，S_△AO′B′=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△AO′O=S_△AB′O+S_△B′O′O-S_△AO′B′=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．