Question

18．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边AC与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边AC恰好重合．已知AB=2$\sqrt{3}$，P是AC上的一个动点．
（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点构成平行四边形的顶点Q恰好在BC边上，求出此时?DPBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）作DF⊥AC于F，由AB的长求得BC、AC的长．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的长．则由勾股定理即可求得DP的长．
（2）由（1）得BC与DF的关系，则DP与DF的关系也已知，先求得∠PDF的度数，则∠PDA的度数也可求出，需注意有两种情况．
（3）由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DF，P为AC中点，作出平行四边形，求得面积．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC于F．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=$\frac{3}{2}$．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=$\frac{1}{2}$，
∴DP=$\sqrt{D{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF=$\frac{3}{2}$，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PDF=$\frac{DF}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度数为15°或75°；

（3）当点P运动到边AC中点（如图4），即CP=$\frac{3}{2}$时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，
∴根据勾股定理得：AC=3，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∵BC∥DP，
∴CP是平行四边形DPBQ的高，
∴S_{平行四边形DPBQ}=DP•CP=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，平行四边形的性质，综合性较强，难度系数较大，关键是熟练掌握好边角之间的关系．