Question

10．在?ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且DF=CF，连接AE，AF，并延长AF交BC的延长线于点P．
（1）求证：△ADF≌△PCF；
（2）若AE=2，AF=4，∠EAF=60°，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC证出∠D=∠PCF，由ASA证明△ADF≌△PCF即可；
（2）作EM⊥AP于M，求出∠AEM=30°，得出AM=$\frac{1}{2}$AE=1，由勾股定理得出EM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，由全等三角形的性质得出PF=AF=4，证出PM=AP-AM=7，再由勾股定理即可得出PE的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠PCF，
在△ADF和△PCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠PCF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{∠AFD=∠PFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△PCF（ASA）；
（2）解：作EM⊥AP于M，如图所示：
∵∠EAF=60°，
∴∠AEM=90°-60°=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴EM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，
由（1）得：△ADF≌△PCF，
∴PF=AF=4，
∴AP=8，
∴PM=AP-AM=7，
∴PE=$\sqrt{E{M}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{7}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．