Question

2．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
①填空：当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB、AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，可得当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b；
（2）①根据等边三角形ABD和等边三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根据全等三角形的性质可得CD=BE；
②根据全等三角形的性质可得，线段BE长的最大值=线段CD长的最大值，而当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，此时CD=3+1=4，可得BE=4．

解答 解：（1）如图1，∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b．
故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD=BE．
理由：如图2，∵等边三角形ABD和等边三角形ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；

②线段BE长的最大值为4．
理由：∵线段BE长的最大值=线段CD长的最大值，
∴当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
此时CD=3+1=4，
∴BE=4．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质以及全等三角形的性质．解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．