Question

5．感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．
应用：如图③，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=$\sqrt{2}$，则AB-AC=2

Answer 1

分析 探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．
应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD=$\sqrt{2}$EB即可解决问题

解答 探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}\\{∠FCD=∠B}\\{DF=DE}\end{array}\right.$
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}\\{∠FCD=∠B}\\{DC=DB}\end{array}\right.$
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=1，
∴AB-AC=2BE=2．
故答案为2．

点评 此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．