Question

15．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．
（1）求证：∠BAD+∠C=90°
（2）求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C=∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论；
（2）作弦心距，由勾股定理得：OE=3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．

解答 证明：（1）∵BD为⊙O的切线，
∴∠C=∠ABD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°，
（2）连接OB，过O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∵∠ADB=90°，
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠ABO，
∵∠D=∠OEB=90°，
∴△OEB∽△BDA，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{OB}{AB}$，
∴$\frac{4}{AD}=\frac{5}{8}$，
∴AD=$\frac{32}{5}$；
则线段AD的长为$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质和垂径定理、以及三角形的外接圆，是常考题型，熟练掌握切线的性质和垂径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．