Question

17．已知关于x的一元二次方程（a-5）x²-4x-1=0．
（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．
（2）若该方程一个根为-1，求方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x=-1代入原方程求出a的值，设方程的另一个根为m，将a代入原方程结合根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（a-5）x²-4x-1=0有实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-5≠0}\\{△=（-4）^{2}+4（a-5）≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1且a≠5．
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
（2）∵方程一个根为-1，
∴（a-5）×（-1）²-4×（-1）-1=a-2=0，解得：a=2．
当a=2时，原方程为3x²+4x+1=0，
设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系得：-m=$\frac{1}{3}$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$．
∴方程的另一个根为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据一元二次方程的定义结合根的判别式得出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．