Question

13．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=1，过点A₁、A2、A3、A₄、A₅分别作x轴的垂线与反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x≠0）的图象相交于点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、A₃P₃A₄、A₄P₅A₅并设其面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄、S₅，则S₁+S₂+S₃+S₄+S₅的值为$\frac{137}{60}$．

Answer 1

分析 由于过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，可先由|k|依次表示出图中各阴影三角形的面积，再相加即可得到面积的和．

解答 解：由于OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅，S₁=$\frac{1}{2}$|k|，S₂=$\frac{1}{4}$|k|，S₃=$\frac{1}{6}$|k|，S₄=$\frac{1}{8}$|k|，S₅=$\frac{1}{10}$|k|；
则S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{10}$）|k|=$\frac{60+30+20+15+12}{120}$×2=$\frac{137}{60}$．
故答案为：$\frac{137}{60}$．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．