Question

19．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$．
①求抛物线的解析式；
②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．

Answer 1

分析 ①由y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，可设A（-2c，0），B（$\frac{1}{2}$c，0），把A（-2c，0），B（$\frac{1}{2}$c，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c求得b，c，即可求得求抛物线的解析式；
②解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=0可求得A，B点的坐标，由于四边形APCB的面积=S_△AOP+S_△POC+S_△COB，根据三角形的面积公式即可求得结论．

解答 解：①令x=0则y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c，
∴C（0，c），
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2c，0），
∠ACB=90°，
∴∠BCO=∠BAC，
∴OB=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$c，
∴B（$\frac{1}{2}$c，0），
把A（-2c，0），B（$\frac{1}{2}$c，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c得，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}（-2c）^{2}+b（-2c）+c=0}\\{-\frac{1}{2}（\frac{1}{2}c）^{2}+b•\frac{1}{2}c+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{10}}\\{c=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
求抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$；

②y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{3}{10}$）²+$\frac{49}{100}$，
∴P（-$\frac{3}{10}$，$\frac{49}{100}$），
令-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=0，解得：x₁=-1，x₂=$\frac{2}{5}$，
∴A（-1，0），B（$\frac{2}{5}$，0）
连接AP，PC，CB，PO，则四边形APCB的面积=S_△AOP+S_△POC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{49}{100}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{9}{100}$．

点评 本题主要考查了待定系数法确定函数关系式，三角函数的定义，求二次函数的顶点坐标与x轴的交点坐标，割补法求四边形的面积，能够把四边形APCB分割成三个三角形△AOP．△POC，△COB是解题的关键．