Question

6．如图，等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，现将△ADE绕点A逆时针转动．

（1）如图1，当AD⊥BC时，求证：AM=DM；
（2）如图2，当点D落在BC上时，连接EC，求∠ACE的度数；
（3）如图3，当点D落在AC上时，连接BD，CE，并取BD，CE的中点M，N，若AD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠MAD=∠D=45°，即可解决问题．
（2）证明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠B=45°，即可解决问题．
（3）连接AM、AN，证明∠MAN=90°，此为解题的关键性结论；求出AM=AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，运用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：由题意得∠B=∠D=45°；
∵AD⊥BC，
∴∠DAB+∠B=90°
∴∠DAB=45°，
∴∠MAD=90°-45°=45°，
∴∠AMD=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=DM．
（2）解：由题意得：∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE；
在△ACE与△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠EAC=∠DAB}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°．
（3）解：如图，连接AM、AN；
类比（2）中的方法，同理可证△AEC≌△ADB，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD（设为α）；
∵点M、N分别为BD、CE的中点，
∴AN=CN，AM=DM，
∴∠NAC=∠NCA=α，∠MAD=∠MDA（设为β）；
在△ABD中，∵α+β=90°，
∴∠MAN=α+β=90°；
由勾股定理得：BD²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，AM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
同理可求AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
由勾股定理得：MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理等几何知识点是解决问题的关键．