Question

1．已知，如图，CD是△ABC的高，∠A=22.5°，边AC的垂直平分线交AB于点E，EF⊥BC，交CD于点G，垂足为F．
（1）求证：DG=DB；
（2）若EF平分∠CEB，试探索线段CF与EG之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质定理得出AE=EC，根据等边对等角得出∠ACE=∠A=22.5°，得出∠CED=45°，从而得出△CDE是等腰直角三角形，得出ED=CD，然后根据ASA求得△GED≌△BCD，即可证得DB=DG．
（2）由（1）三角形全等可知EG=BC，根据ASA求得△ECF≌△EBF，即可证得CF=BF，从而证得CF=$\frac{1}{2}$EG．

解答 证明：∵EN垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴∠ACE=∠A=22.5°，
∴∠CED=45°，
∵EF⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴ED=CD，
∵EF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠GED=∠BCD，
在△GED和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GED=∠BCD}\\{ED=CD}\\{∠EDG=∠CDB=90°}\end{array}\right.$，
∴△GED≌△BCD（ASA），
∴DB=DG．
（2）由（1）可知△GED≌△BCD，
EG=BC，
在△ECF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠BEF}\\{EF=EF}\\{∠CFE=∠BFE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△EBF（ASA），
∴CF=BF，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴CF=$\frac{1}{2}$EG．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．