Question

2．已知关于x的一元二次方程2x²+ax+a-3=0．
（1）证明无论a为何值该方程都有两个不相等的实根．
（2）若两实数根的平方和为4$\frac{1}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先根据根与系数的关系求出“△”，再根据“△”的值推出即可；
（2）设方程的两个根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{2}$，根据两实数根的平方和为4$\frac{1}{4}$得出关于a的方程，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：△=a²-4×2×（a-3）=a²-8a+24
=（a-4）²+8，
因为不论a为何值，（a-4）²+8＞0，
所以△＞0，
所以无论a为何值该方程都有两个不相等的实根；

（2）解：设方程的两个根为x₁，x₂，
根据根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{2}$，
∵两实数根的平方和为4$\frac{1}{4}$，
∴x₁²+x₂²=4$\frac{1}{4}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2•x₁•x₂=（-$\frac{a}{2}$）²-2•$\frac{a-3}{2}$=4$\frac{1}{4}$，
即a²-4a-5=0，
解得：a₁=5，a₂=-1，
即a的值是5或-1．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．