Question

6．如图，⊙O的直径AB=8cm，D为⊙O上一点，过点D的切线与AB的延长线于点C．AD=CD，求：
（1）∠A的度数：
（2）CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO，由外角的性质得到∠DOC=∠A+∠ADO，于是得到∠DOC=2∠A，等量代换得到∠DOC=2∠C，根据切线的性质得到∠ODC=90°，于是求得∠C=30°，即可得到结论；
（2）连接BD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，由于∠A=30°，AB=8cm，于是得到AD=AB•cos30°=4$\sqrt{3}$，即可得到结果．

解答 解：（1）∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠DOC=∠A+∠ADO，
∴∠DOC=2∠A，
∵AD=CD，
∴∠A=∠C，
∴∠DOC=2∠C，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴∠A=∠C=30°；

（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，AB=8cm，
∴AD=AB•cos30°=4$\sqrt{3}$，
∴CD=AD=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用切线的性质和三角形的外角的性质求得∠DOB的度数．