Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点，在直线AB上存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形，写出$\frac{BE}{CD}$的值．

Answer 1

分析 分别求得两直线与x轴的交点坐标以及两直线的交点坐标，进而根据待定系数法求得直线OA的解析式，然后分三种情况：①当OE∥AD，ED∥OA时，根据平行线的性质求得直线OE的解析式，进而求得E点的坐标，然后求得直线ED的解析式，然后联立方程求得D的坐标，根据勾股定理分别求得BE和CD的长，从而求得$\frac{BE}{CD}$的值；②当DE∥OA时，OD∥AB时，先求得OD的解析式，进而求得D的坐标，然后根据平行线的性质求得直线DE的解析式，联立方程求得E的坐标，根据勾股定理即可求得BE和CD的长，从而求得$\frac{BE}{CD}$的值；③当AE∥OD时，OE∥AD时，结合①②即可求得BE和CD的长，从而求得$\frac{BE}{CD}$的值．

解答 解：在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．
在y=-x+3中，当y=0时，-x+3=0，
∴x=3，点C的坐标为（3，0）．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴点A的坐标为（1，2）．
∴直线OA为y=2x，
①如图①所示：当OE∥AD，ED∥OA时，

∵OE∥AC，
所以直线OE的解析式为y=-x，
联立OE、AB，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵ED∥OA，
设直线DE的解析式为y=2x+b，
代入（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）得$\frac{1}{2}$=2×（-$\frac{1}{2}$）+b，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴直线DE的解析式为y=2x+$\frac{3}{2}$，
联立ED、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+\frac{3}{2}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
即D（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴BE=$\sqrt{（-1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}-3）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{5}$；
②如图②：当DE∥OA时，OD∥AB时，

∵OD∥AB，
∴直线OD的解析式为y=x，
联立OD、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∵ED∥OA，
设直线DE的解析式为y=2x+b，
代入（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）得，$\frac{3}{2}$=2×（$\frac{3}{2}$）+b，解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴直线DE的解析式为y=2x-$\frac{3}{2}$，
联立ED、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-\frac{3}{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
即E（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴BE=$\sqrt{（-1-\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{7}{3}$；
③如图③，当AE∥OD时，OE∥AD时，

由①②可知E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$；
综上所述：$\frac{BE}{CD}$的值为$\frac{1}{5}$或$\frac{7}{3}$或$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查的是一次函数的性质和平行四边形的性质，掌握相互平行的两条直线的一次项系数相同是解题的关系，解答本题主要应用了分类讨论的思想．