Question

9．问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1
（2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形，所以，当n=4时，m=0
（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=5时，m=1
（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=6时，m=1
综上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：
（1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三
角形？（只需把结果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…
解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表 ③中）

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m

问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）
其中面积最大的等腰三角形每个腰用了672根木棒．（只填结果）

Answer 1

分析 探究二：
（1）周长为7，让腰长从1开始逐个验证即可；
（2）周长为8、9、10，方法同上；
解决问题：
问题的本质是，给定三角形的周长n，且n=2a+b，求满足要求的a的整数解的个数m．因此，根据三角形三边关系，我们将a的取值范围用n表示出来，从而就可以确定n在取任意值时，a的整数解个数m；
任意一个整数，均可以表示成4k-1，4k，4k+1，4k+2四种形式当中的一种，让n取这四种值，得出m的值填表；

问题应用：
（1）根据上面探究得出的一般结论，只需看2016符号哪种情况即可．n=2016=504×4，m=504-1=503；
（3）周长相同的情况下，等边三角形面积最大；

解答 解：探究二：
（1）7=1+1+5（舍去）；
7=2+2+3（符合要求）；
7=3+3+1（符合要求）；
（2）8=1+1+6（舍去）；
8=2+2+4（舍去）；
8=3+3+2（符合要求）；
9=1+1+7（舍去）；
9=2+2+5（舍去）；
9=3+3+3（符合要求）；
9=4+4+1（符合要求）；
10=1+1+8（舍去）；
10=2+2+6（舍去）；
10=3+3+4（符合要求）；
10=4+4+2（符合要求）；
填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解决问题：
令n=a+a+b=2a+b，
则：b=n-2a，
根据三角形三边关系定理可知：
2a＞b且b＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a＞n-2a}\\{n-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{n}{4}＜a＜\frac{n}{2}$，
若n=4k-1，则$k-\frac{1}{4}＜a＜2k-\frac{1}{2}$，a的整数解有k个；
若n=4k，则k＜a＜2k，a的整数解有k-1个；
若n=4k+1，则$k+\frac{1}{4}＜a＜2k+\frac{1}{2}$，a的整数解有k个；
若n=4k+2，则$k+\frac{1}{2}＜a＜2k+1$，a的整数解有k个；
填表如下：

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k-1	k	k

问题应用：
（1）∵2016=4×504，
∴k=504，
则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形；  
（2）当等腰三角形是等边三角形时，面积最大，
∴2016÷3=672．

点评 本题以一种探究的方式考查了腰三角形的性质、三角形三边关系、整数解问题，命题新颖，视角独特，是一道经典好题．探究过程中，体现从特殊到一般的归纳思想．掌握好等腰三角形性的基本性质及三角形三边关系是解决本题的关键．