Question

8．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需证∠BAD=∠CAE即可得结论；
（2）证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；
（3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BCA=60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECF=180-∠ACE-∠BCA=60°，
∴∠ACE=∠ECF，
∴CE平分∠ACF．
（3）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB=AC，
∴BD=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}×2$=1．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理以及垂线段最短原理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．