Question

7．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s．点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中，△EBF关于直线EF对称图形是△EB′F，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t为为何值时，四边形EBFB′为正方形？并说明理由；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据四边形EBFB′为正方形，得出BE=BF，从而得出10-t=3t，求出t的值即可；
（2）分两种情况讨论，若△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF时，分别得出EB：FC=BG：CG，EB：CG=BF：FC，求出符合条件的t的值即可．

解答 解：（1）当t=2.5秒时，四边形EBFB'为正方形，
理由如下：
由轴对称的性质知：∠B=∠B'=90°，∠BFE=∠B'FE，
∵当BE=BF时，∠BFE=45°，
∴∠BFE=∠B'FE=45°∠BF B'=90°，
又∵∠B=∠B'=90°，BE=BF，
∴四边形EBFB'为正方形，
由题意得AE=t，BF=3t，BE=10-t（0≤t≤4），
∴10-t=3t，
解得：t=2.5秒，
∴当t=2.5秒时，四边形EBFB'为正方形；
（2）由题意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t（0≤t≤4），
∵AB=10，BC=12，
∴BE=10-t，FC=12-3t，
①当△EBF∽△FCG时，EB：FC=BF：CG，
∴10-t：12-3t=3t：1.5t，
解得：t=2.8秒；
②当△EBF∽△GCF时，EB：CG=BF：FC，
∴10-t：1.5t=3t：12-3t，
解得：t=-14-2$\sqrt{69}$（不合题意，舍去）或t=-14+2$\sqrt{69}$，
∴当t=2.8s或=-14+2$\sqrt{69}$s时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．

点评 本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解是解题关键．