Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）当DE＝DF时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由矩形的性质得到AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠DFO=∠BEO再证明△DOF≌△BOE，根据全等三角形的性质得到DF=BE，从而得到四边形BEDF是平行四边形；
（2）先证明四边形BEDF是菱形，再得到DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，设AE=x，则DE=BE=8-x根据勾股定理求解即可．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO＝∠BEO．

在△DOF和△BOE中

，

∴△DOF≌△BOE(AAS)．

∴DF＝BE．

又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．

(2)解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形，

∴四边形BEDF是菱形．

∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF．

设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，

在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，

∴x2＋62＝(8－x)2．解得x＝．

∴DE＝8－＝．

在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，

∴BD＝＝10．

∴OD＝BD＝5．

在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，

∴OE＝＝．

∴EF＝2OE＝．