Question

14．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E在函数$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，若阴影部分的面积为12-$4\sqrt{5}$，则点E的坐标是（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）．

Answer 1

分析 根据反比例函数系数k的几何意义得到S_{正方形OABC}=S_矩形ODEG=4，则S_矩形BCGF=S_{正方形ADEF}，所以S_{正方形ADEF}=6-2$\sqrt{5}$，利用正方形的性质可计算出正方形的边长AD=DE=$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-1，则E点的纵坐标为$\sqrt{5}$-1，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定E点坐标．

解答 解：∵四边形OABC，ADEF为正方形，
∴S_{正方形OABC}=S_矩形ODEG=4，
∴S_矩形BCGF=S_{正方形ADEF}，
而阴影部分的面积为12-$4\sqrt{5}$，
∴S_{正方形ADEF}=6-2$\sqrt{5}$，
∴AD=DE=$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-1，
当y=$\sqrt{5}$-1时，x=$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$=$\sqrt{5}$+1，
∴E点坐标为（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）．
故答案为（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．