Question

20．已知m是一个正整数，记F（x）=|x-m|-（x-m）的值，例如，F（10）=|10-m|-（10-m）．若F（1）+F（2）+…+F（20）=30，则m=6．

Answer 1

分析 根据F（x）的意义，用含m和绝对值的式子表示出方程F（1）+F（2）+…+F（20）=30，根据m是正整数，可以依次试验，确定m的值．

解答 解：由题意可知：F（1）+F（2）+…+F（30）=30，
∴|1-m|-（1-m）+|2-m|-（2-m）+…+|20-m|-（20-m）=30，
∴|1-m|+|2-m|+|3-m|+…+|20-m|=（1-m）+（2-m）+（3-m）+…+（20-m）+30，
即|1-m|+|2-m|+|3-m|+…+|20-m|=（1+2+3+…+20）-20m+30，
由于m是一个正整数，当m=1时
2-m+3-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
（2+3+4+…+20）-19m=1+（2+3+…+20）-19m-m+30
此时m=31，这与m=1矛盾．
当m=2时
m-1+2-m+3-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
（-1+2+3+4+…+20）-18m=1+（2+3+…+20）-18m-2m+30
此时m=小数，这与m=正整数矛盾．
当m=3时
m-1+m-2+3-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
（-1-2+3+4+…+20）-16m=1+2+（3+4+…+20）-16m-4m+30
此时m=9，这与m=3矛盾．
…
当m=6时
m-1+m-2+m-3+m-4+m-5+6-m+7-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
-15+（6+7+…+20）-10m=15+（6+7+…+20）-10m-10m+30
此时m=6，这与m=6相一致．
当m=7时
m-1+m-2+m-3+m-4+m-5+m-6+7-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
-21+（7+…+20）-9m=21+（7+…+20）-9m-11m+30
此时m=小数，这与m=7矛盾．
…
当m=20时
m-1+m-2+m-3+m+…+m-20≠（1+2+3+…+20）-20m+30
综上m=6．
故答案为：6

点评 本题考查了绝对值和新定义运算．明白新定义并会运用新定义是解决本题的关键．