Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AB=10米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△AMN的面积为6米？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,配方法的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，根据△AMN的面积为6米，得到关于t的方程求得t值即可；
（2）根据三角形的面积计算得到有关t的二次函数求最值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB²=BC²+AC²
∴AB=5

3

米
如图，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即：

2t

10

=

NH

5

，
∴NH=t，
∴S_△AMN=

1

2

t（5

3

-t）=6，
解得t₁=

3

，t₂=4

3

（舍去），
故当t为

3

秒时，△AMN的面积为6米，

（2）

1

2

t（5

3

-t）=-

1

2

（t²-5

3

t+

75

4

）+

75

2

=-

1

2

（t-

5 3

2

^）2+

75

2

，
∴当t=

5 3

2

时，S最大值=

75

2

平方米．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解．