Question

【观察发现】如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角的度数．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究】如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】中的结论是否还成立？请说明理由
【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，BD=10，求边CD的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：【观察发现】根据等边三角形的性质可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE=∠DCE；
【深入探究】根据等边三角形的性质可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根据三角形的内角和定理求出∠DPE=∠DEC；
【拓展应用】把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，判断出△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得DE=CD，∠CED=60°，再求出∠BED=90°，然后利用勾股定理列式求出DE，从而得解．

解答：解：【观察发现】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AB=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
由三角形的外角性质，∠DPE=∠AEC+∠BDC，
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

【深入探究】：结论BD=AE，∠DPE=60°还成立．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AB=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
∵∠BDC+∠CDE+∠AED=∠AEC+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠CED=120°，
∴∠DPE=180°-（∠BDC+∠CDE+∠AED）=180°-120°=60°；
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

【拓展应用】如图，∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，
则BE=AD，△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，∠CED=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠BED=30°+60°=90°，
在Rt△BDE中，DE=

BD2-BE2

=

102-62

=8，
∴CD=DE=8．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于【拓展应用】作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形．