Question

16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE=CF，BE=2AE，点G在DE上，FG⊥DE，垂足是G，若FG=8，则CG=$\frac{27-12\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 延长GF交DC的延长线于点M，如图，设正方形ABCD的边长为3a，利用正方形的性质得AE=CF=a，AD=CD=3a，再证明△AED≌△CFM得到AD=CM=3a，则可判断CG为斜边DM上的中线，所以CG=CM，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：延长GF交DC的延长线于点M，如图，设正方形ABCD的边长为3a，
∵AE=CF，BE=2AE，
∴AE=CF=a，AD=CD=3a，
∵FD⊥DE，
∴∠EGF=90°，
∴∠GEB+∠BFG=180°，
而∠GEB+∠AED=180°，
∴∠AED=∠BFG，
而∠NFG=∠CFM，
∴∠AED=∠CFM，
在△AED和△CFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FCM}\\{AE=CF}\\{∠AED=∠CFM}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFM，
∴AD=CM=3a，
在Rt△DGM中，∵CD=CM=3a，
∴CG为斜边DM上的中线，
∴CG=CM=3a，
∵∠DGM=∠FCM，∠M=∠M，
∴△CFM∽△GDM，
∴$\frac{FM}{DM}=\frac{CM}{GM}$，
∵FM=$\sqrt{C{F}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∴$\frac{\sqrt{10}a}{6a}=\frac{3a}{8+\sqrt{10}a}$，
∴a=$\sqrt{10}$，
∴CG=3$\sqrt{10}$．
故答案为：3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．