Question

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC=a，AC﹣b，AB=c．

【特例探索】

（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=　 　，b=　 　；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=　 　，b=　 　；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

【拓展应用】

（3）如图4，在ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3．求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）a=2 ，b=2； a=2 ,b=2；（2）见解析；（3）4．

【解析】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得到根据三角形中位线的性质，得到, 再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设PF=m，PE=n则AP=2m，PB=2n，类比着（1）即可证得结论．
（3）连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,由点E.G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线，于是证出 由四边形ABCD是平行四边形，得到, ∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EP，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．

试题解析

∵AF，BE是△ABC的中线，

∴,

∴PE=PF=1，

在Rt△FPB和Rt△PEA中，

如图2，连接EF，

同理可得：

∵

∴△PEF△ABP，

在Rt△ABP中，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

故答案为：

(2)猜想： 三者之间的关系是：

证明：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，

∴EF是△ABC的中位线，

∴.且

设PF=m，PE=n则AP=2m，PB=2n，

在Rt△APB中, ①

在Rt△APE中, ②

在Rt△BPF中, ③

由①得： 由②+③得：

(3)如图4,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,

∵点E.G分别是AD，CD的中点，

∴,

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴,

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∵,

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中,

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EP，AH分别是△AFE的中线，

由(2)的结论得：

∴AF=4.