Question

1．四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，点H为BF的中点，连接HA，HG．若三点B、D、F在同一直线上，如图探索HA与HG的数量及位置关系，并予以证明．

Answer 1

分析 结论：AH=GH，AH⊥HG，欲证明AH=HG，AH⊥GH，只要证明△ANH≌△HOG，根据条件可以得到AN=HO，NH=GO由此即可解决问题．

解答 解：结论AH=HG，AH⊥GH，理由如下：
连接EG交BF于O，
∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，
∴∠ANH=∠HOG=90°，ND=$\frac{1}{2}BD$，DO=$\frac{1}{2}$DF，
∴NO=$\frac{1}{2}$BF，
∵BH=$\frac{1}{2}$BF，
∴BH=NO，
∴BN=HO=AN，
∵BH=BN+NH=BN+OD，
∴NH=DO=GO，
在△ANH和△HOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=OH}\\{∠ANH=∠HOG}\\{NH=GO}\end{array}\right.$，
∴△ANH≌△HOG，
∴AH=HG，∴∠AHN=∠HGO，
∵∠GHO+∠HGO=90°，
∴∠AHN+∠GHO=90°，
∴∠AHG=90°，
∴AH⊥HG，
∴AH=HG，AH⊥HG．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用中点定义，结合线段和差定义证明线段相等，属于中考常考题型．