Question

如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．
其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．

解答：解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE=AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF=∠DCE，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC=∠BAC，故③正确；
∠DAE=∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选D．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．