Question

如图，已知正方形ABCD的面积为2，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：过点E作EF⊥CD于F，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠BDC=45°，从而判断出△DEF是等腰直角三角形，设AC、BD相交于点O，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OE=EF，根据正方形的面积求出对角线BD，再求出OD，设DE=x，表示出OE=EF=DF，然后利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：如图，过点E作EF⊥CD于F，
在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
所以，△DEF是等腰直角三角形，
设AC、BD相交于点，
∵CE平分∠ACD，
∴OE=EF，
∵正方形ABCD的面积为2，
∴

1

2

BD²=2，
解得BD=2，
∴OD=

1

2

BD=

1

2

×2=1，
设DE=x，则OE=EF=DF=1-x，
在Rt△DEF中，EF²+DF²=ED²，
即（1-x）²+（1-x）²=x²，
整理得，x²-4x+2=0，
解得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

（舍去），
所以，DE=2-

2

．
故答案为：2-

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．