Question

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，点M以2（单位：cm/s）的速度在线段AB上由点A向点B匀速运动，运动到点B时停止，过点M作MN⊥AB与三角形的直角边相交于点N，设运动时间为t（单位：s）
（1）如图1，当点N在AC上时，用含t的代数式表示MN的长度；
（2）当Rt△ABC被MN分成面积1：2的两部分时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AC8cm，证明△ANM∽△ABC，得出$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}$，求出MN=$\frac{3}{2}$t即可；
（2）求出△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=24（cm²），分情况讨论：
①当点N在AC上时，△AMN的面积=$\frac{1}{2}$AM•MN=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3}{2}$t²；（a）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{1}{3}$×24，求出t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；（b）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{2}{3}$×24，求出t=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
②当点N在BC上时，△BMN∽△BCA，求出MN=$\frac{40-8t}{3}$，得出△BMN的面积=$\frac{1}{2}$×（10-2t）×$\frac{40-8t}{3}$=$\frac{1}{3}$×24，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8cm，MN⊥AB，
∴∠AMN=90°=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}$，即$\frac{MN}{6}=\frac{2t}{8}$，
解得：MN=$\frac{3}{2}$t；
（2）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×8×6=24（cm²），
分两种情况讨论：
①当点N在AC上时，△AMN的面积=$\frac{1}{2}$AM•MN=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3}{2}$t²；
（a）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{1}{3}$×24，
解得：t=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（负值舍去），
∴t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（b）若$\frac{3}{2}$t²=$\frac{2}{3}$×24，
解得：t=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$（负值舍去），
∴t=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
②当点N在BC上时，如图所示：
则△BMN∽△BCA，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BC}$，
解得：MN=$\frac{40-8t}{3}$，
∴△BMN的面积=$\frac{1}{2}$×（10-2t）×$\frac{40-8t}{3}$=$\frac{1}{3}$×24，
解得：t=5±$\sqrt{3}$，
经检验，t=5+$\sqrt{3}$不合题意舍去，
∴t=5-$\sqrt{3}$；
综上所述：当Rt△ABC被MN分成面积1：2的两部分时，t的值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{6}}{3}$或5-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．