Question

8．观察下列计算，去掉分母中的根号．
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$
（1）第n个式子：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n≥2的自然数）应写成什么形式？
（2）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$）+…+$\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}$）•（$\sqrt{2009}$+1）
（3）通过（1）（2）问题的解答，你能否找到计算式子：
$\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{2009\sqrt{2008}+2008\sqrt{2009}}$．

Answer 1

分析 （1）将分母有理化即可；
（2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果；
（3）原式各项分母有理化，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
（2）（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}$）•（$\sqrt{2009}$+1）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2008}$）•（$\sqrt{2009}$+1）
=（$\sqrt{2009}$-1）•（$\sqrt{2009}$+1）=2008；
（3）$\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{2009\sqrt{2008}+2008\sqrt{2009}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}（\sqrt{2}+1）}$+$\frac{1}{\sqrt{6}（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$+$\frac{1}{\sqrt{12}（\sqrt{4}+\sqrt{3}）}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2008×2009}（\sqrt{2009}+\sqrt{2008}）}$
=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}$+…+$\frac{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}{\sqrt{2009×2008}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}×1}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$-$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}×\sqrt{3}}$+…+$\frac{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}{\sqrt{2009}×\sqrt{2008}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2008}}$-$\frac{1}{\sqrt{2009}}$
=1-$\frac{1}{\sqrt{2009}}$=$\frac{2009-\sqrt{2009}}{2009}$．

点评 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．