Question

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先求出方程的根，再根据OA＜OB得出A、B两点的坐标即可；
（2）根据题意得出AP=t，AQ=5-2t，再分当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB；当∠AQP=∠AOB 时，△APQ∽△ABO两种情况进行讨论．

解答：解：（1）x²-7x+12=0
解得x₁=3，x₂=4
∵OA＜OB
∴OA=3，OB=4
∴A（0，3），B（4，0）；

（2）由题意得，AP=t，AQ=5-2t
可分两种情况讨论：
①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB，
如图1，

t

3

=

5-2t

5

，
解得，t=

15

11

；
②当∠AQP=∠AOB 时，△APQ∽△ABO，
如图2，

t

5

=

5-2t

3

，
解得，t=

25

13

．
综上所述，当t=

15

11

秒或t=

25

13

秒时，△APQ与△AOB相似．

点评：本题考查的是相似形综合题，在解答（2）时要注意分两种情况进行讨论，不要漏解．