Question

已知三个不同的实数a，b，c满足a-b+c=3，方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一个相同的实根，方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：压轴题

分析：将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设x₁是方程①和方程②的一个相同的实根，x₂是方程③和方程④的一个相同的实根，得到关于x₁与x₂的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值即可解答．

解答：解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设x₁是方程①和方程②的一个相同的实根，则

x 2 1 +ax1+1=0 x 2 1 +bx1+c=0

两式相减，可解得x1=

c-1

a-b

．（5分）
设x₂是方程③和方程④的一个相同的实根，则

x 2 2 +x2+a=0 x 2 2 +cx2+b=0

两式相减，可解得x 2=

a-b

c-1

．
所以x₁x₂=1．（10分）
又∵方程①的两根之积等于1，于是x₂也是方程①的根，
则x₂²+ax₂+1=0．
又∵x₂²+x₂+a=0，两式相减，得（a-1）x₂=a-1．（15分）
若a=1，则方程①无实根，
所以a≠1，故x₂=1．
于是a=-2，b+c=-1．又a-b+c=3，
解得b=-3，c=2．（20分）

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的解．同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．