Question

5．已知等边△ABC中，D，E分别是边BC，AC所在直线上的两点，且BD=CE，直线AD，BE交于点F．
（1）把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
当点D，E分别在线段BC，AC上时（如图1）
①求证：AD=BE；②求∠AFE的度数；
①证明：∵△ABC是等边三角形（已知）
∴AB=AC（等边三角形的三条边都相等）
∠ABD=∠BCE（等边三角形的三个角都是60°）
∵BD=CE（已知）
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE（全等三角形的对应边相等）
②解：由①得∠BAD=∠CBE（全等三角形的对应边相等）
∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°（三角形的内角和等于180°）
∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°（等量代换）
∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°（等边三角形的三个角都是60°）
∴∠AFB=120°（等式的性质）
∵∠AFE+∠AFB=180°（平角的定义）
∴∠AFE=60°．
（2）当点D在线段BC的延长线上，点E在线段CA的延长线上时，如图2，
①求证：AD=BE；
②求∠AFE的度数．

Answer 1

分析 （1）①②只要证明△ABD≌△BCE即可解决问题；
（2）①②只要证明△ABD≌△BCE 即可解决问题；

解答 （1）①证明：∵△ABC是等边三角形（已知）
∴AB=BC（等边三角形的三条边都相等）
∴∠ABD=∠BCE（等边三角形的三个角都是60°）
∵BD=CE（已知）
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE（全等三角形对应边相等）
故答案为AB=BC，∠ABD=∠BCE，SAS，全等三角形的对应边相等．

②解：由①得∠BAD=∠CBE（全等三角形的对应边相等）
∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°（三角形的内角和等于180°）
∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°（等量代换）
∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°（已证）
∴∠AFB=120°（等式的性质）
∵∠AFE+∠AFB=180°（平角的定义）
∴∠AFE=60°
故答案为全等三角形对应边相等，三角形的内角和等于180°．

（2）①证明：∵△ABC是等边三角，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，
∵BD=CE（已知），
∴△ABD≌△BCE，
∴AD=BE，
②∵△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠D+∠BAD+∠ABD=180°，
∠D+∠CBE+∠AFB=180°，
∴∠ABD=∠AFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠AFB=60°，
∵∠AFE+∠AFB=180°，
∴∠AFE=120°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．