Question

20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4，CD=2，AB=6，DM⊥AB，垂足为M，CN⊥AB，垂足为N，点P、Q分别是线段DM、CN上的动点，且DP=NQ，顺次联结AP、PQ、QB，设DP=t．
（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）如果四边形APQB是等腰梯形，求t的值；
（3）联结PN，当△PNQ时等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到DM=2$\sqrt{3}$，过Q作QE⊥DM于E，则四边形QEMN是矩形，求得PE=2$\sqrt{3}$-2t，QE=2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据梯形的性质得到PQ∥AB∥CD，推出四边形DPQC和四边形PMNQ是平行四边形，于是得到DP=CQ=NQ=PM，求得t=$\frac{1}{2}$DM=$\sqrt{3}$；
（3）根据勾股定理得到PN=$\sqrt{16-4\sqrt{3}t+{t}^{2}}$，当△PNQ是等腰三角形时，分三种情况，①当PQ=QN时，②当PQ=PN时，③当PN=NQ时，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）在Rt△ADM中，∠ADM=90°，易得DM=2$\sqrt{3}$，
过Q作QE⊥DM于E，
则四边形QEMN是矩形，
∴PE=2$\sqrt{3}$-2t，QE=2，
∴PQ=$\sqrt{P{E}^{2}+Q{E}^{2}}$=$\sqrt{16-8\sqrt{3}t+4{t}^{2}}$；
（2）∵四边形APQB是等腰梯形，
∴PQ∥AB∥CD，∵DM∥CN，
∴四边形DPQC和四边形PMNQ是平行四边形，
∴DP=CQ=NQ=PM，
∴t=$\frac{1}{2}$DM=$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△PMN中，PN=$\sqrt{16-4\sqrt{3}t+{t}^{2}}$，
当△PNQ是等腰三角形时，
分三种情况，①当PQ=QN时，即16-8$\sqrt{3}$t+4t²=t²，
解得：t=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$；
②当PQ=PN时，即16-8$\sqrt{3}$t+4t²=16-4$\sqrt{3}$t+t²，
解得：t=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$；
③当PN=NQ时，即16-4$\sqrt{3}$t+t²=t²，
解得：t=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
综上所述，当△PNQ时等腰三角形时，t=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．