Question

10．把等腰直角三角板ABC和等腰直角三角板ECD如图放置，点D在AC上，连接AE、BD，试判断AE与BD的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BCD，然后求出∠AEC+∠CBD=90°，延长BD交AE于F，根据三角形的内角和等于180°求出∠BFE=90°，根据垂直的定义可得AE⊥BD．

解答 解：AE=BD且AE⊥BD．
理由如下：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠AEC=∠BCD，
∵∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠AEC+∠CBD=90°，
延长BD交AE于F，则∠BFE=180°-（∠AEC+∠CBD）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，本题容易忽视两线段的位置关系，即垂直而导致出错．