Question

5．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为点H，交CD于点F．作CG∥AE，交BF于点G．
（1）若CG=3，求BH的长；
（2）若BF，GF的长分别是一元二次方程x²-7x+6=0的两根，求正方形ABCD的面积；
（3）求证：$\frac{B{E}^{2}}{B{C}^{2}}=\frac{EH}{AH}$．

Answer 1

分析 （1）由BF垂直于AE，且CG与AE平行，得到CG垂直于BF，进而得到一对直角相等，再利用同角的余角相等得到一对角相等，根据四边形ABCD为正方形，得到一对边相等，利用AAS得到三角形ABH与三角形BCG全等，利用全等三角形的对应边相等得到BH=CG，即可求出BH的长；
（2）求出方程的解确定出BF与GF的长，由BF-GF求出BG的长，利用相似三角形对应边成比例求出CG的长，利用勾股定理求出正方形边长，即可确定出面积；
（3）由全等三角形对应边相等得到AH=BG，由三角形BEH与三角形BCG相似，由相似得比例，两边平方后等量代换即可得证．

解答 （1）解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABH+∠CBG=90°，
∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥AE，
∴∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABH=∠BCG，
在△ABH和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BGC=90°}\\{∠ABH=∠BCG}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCG（AAS），
∴BH=CG=3；
（2）方程x²-7x+6=0变形得：（x-1）（x-6）=0，
解得：x=1或x=6，
∵BF，GF的长分别是一元二次方程x²-7x+6=0的两根，且BF＞GF，
∴BF=6，GF=1，
∴BG=BF-GF=6-1=5，
在Rt△BCF中，CG⊥BF，
∴△BCG∽△CFG，
∴CG²=BG•GF=5，
∴根据勾股定理得：BC²=BG²+GC²=25+5=30，
则正方形的面积为30；
（3）∵HE∥BG，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BH}{BG}$，即$\frac{B{E}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{B{H}^{2}}{B{G}^{2}}$，
∵AH=BG，BH²=AH•HE，
∴$\frac{B{E}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{B{H}^{2}}{B{G}^{2}}$=$\frac{AH•HE}{A{H}^{2}}$=$\frac{HE}{AH}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．