Question

3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）求证：S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据三角形角平分线定理即可得到结论．

解答 （1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF，
∴S_△ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$AB•DE）：（$\frac{1}{2}$AC•DF）=AB：AC；

（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{4}{5}$CD，
∵BC=6，
∴BD=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形角平分线定理，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．