Question

8．如图，有一段斜坡BC长为30米，坡角∠CBD=30°，为方便车辆通行，现准备把坡角降为∠CAD=15°．
（1）求坡高CD；
（2）求tan75°的值（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据题意和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得CD的长；
（2）根据题意可以求得∠ACD=75°，也可以求得AD和CD的长，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵∠CDB=90°，∠CBD=30°，BC=30米，
∴CD=15米，
即坡高CD为15米；
（2））∵∠CDB=90°，∠CBD=30°，∠CAD=15°，
∴∠BCD=60°，∠BCA=15°，
∴∠ACD=75°，AB=BC，
∵BC=30米，
∴AB=30米，BD=BC•sin60°=30×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$米，CD=15米，
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}=\frac{30+15\sqrt{3}}{15}=2+\sqrt{3}$，
即tan75°=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．