Question

16．在正方形ABCD上方作等腰直角△ABE，M为CD边上一点，N为MB中点，点F在线段AE上（点F与点A不重合）．
（1）如图1，若点M、C重合，F为AE中点，AB=2，求S_△EFN；
（2）如图2，若点M、C不重合，DN=NF，延长DN、AB交于点G，连接FD、FG，求证：FN⊥DG；
（3）在（2）的条件下，若$\frac{AF}{FE}$=$\frac{1}{3}$，请直接写出$\frac{BM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作FG⊥BE于G，求出FG，根据S_△EFN=$\frac{1}{2}$•EN•FG计算即可．
（2）如图2中，作FH⊥AB于H，FK⊥DA于K，先证明△BNG≌△MND，推出DN=NG=FN，再证明△DKF≌△GHF，即可解决问题．
（3）如图2中，由（2）可知，四边形AKFH是正方形，由FH∥EB，推出$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AH}{HB}$=$\frac{1}{3}$，设AH=a，则HB=3a，求出BM、MC即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作FG⊥BE于G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠ABE=90°，
∵∠FGE=∠ABE=90°，
∴FG∥AB，
∵AF=EF，
∴EG=GB，
∴FG=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵AB=BE=2，BN=CN=1，
∴EN=3，
∴S_△EFN=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

（2）如图2中，作FH⊥AB于H，FK⊥DA于K．

∵BG∥DM，
∴∠NBG=∠NMD，
在△NBG和△NMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBG=∠NMD}\\{BN=NM}\\{∠BNG=∠MND}\end{array}\right.$，
∴△BNG≌△MND，
∴DN=NG，
∵FN=DN，
∴FN=DN=NG，
∴∠DFG=90°，
∴∠DAG=∠DFG=90°，
∴∠ADF=∠FGA，
∵∠FAH=∠FAK=45°，FH⊥AB，FK⊥AK，
∴FH=FK，
在△DKF和△GHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DKF=∠GHF}\\{∠KDF=∠FGH}\\{KF=FH}\end{array}\right.$，
∴△DKF≌△GHF．
∴DF=FG，
∵DN=NG，
∴FN⊥DG．
 
（3）如图2中，由（2）可知，四边形AKFH是正方形，
∴AH=KF，
∵FH∥EB，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AH}{HB}$=$\frac{1}{3}$，设AH=a，则HB=3a．
∴AB=4a，DK=HG=5a，
∴BG=DM=2a，
∴DM=CM=2a，
∴BM=$\sqrt{C{M}^{2}+C{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{2\sqrt{5}a}{2a}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．