Question

8．请观察下列算式，找出规律并填空：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$
则：
（1）第10个算式是$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$．　
（2）第n个算式为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（3）根据以上规律解答下题：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2013×2014}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接得出第10个算式为：$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
（2）直接得出第n个算式为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（3）分别将各算式的值代入，最后化简得出结果．

解答 解：（1）第10个算式是：$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
故答案为：$\frac{1}{10×11}$，$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$；
（2）第n个算式为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$，$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2013×2014}$，
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$，
=1-$\frac{1}{2014}$，
=$\frac{2013}{2014}$．

点评 本题是数字类的规律题，此类题除了计算准确外，还要认真观察已知所给的式子，有什么关系，大胆猜想，仔细分析，利用特别的方法进行计算，并得出相应的规律．