Question

3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”进行证明；
（2）延长DA，CE交于点G，证明△AGE≌△BCE，得出AG=BC，再证明CF=FG即可，设DF=x，根据勾股定理得出：CD²=CF²-DF²=CG²-DG²，列出方程5²-x²=8²-（5+x）²，解方程求出x，得DF的长度．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；

（2）解：延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ECB}\\{∠GAE=∠B=90°}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
若CE=4，CF=5，
设DF=x，
根据勾股定理得：CD²=CF²-DF²=CG²-DG²，
即5²-x²=8²-（5+x）²，
解得：x=$\frac{7}{5}$，即DF=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．