Question

10．能使分式方程$\frac{k}{1-x}$+2=$\frac{3}{x-1}$有非负实数解且使二次函数y=x²+2x-k-1的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -60
• D． 60

Answer 1

分析 ①解分式方程，使x≥0且x≠1，求出k的取值；
②因为二次函数y=x²+2x-k-1的图象与x轴无交点，所以△＜0，列不等式，求出k的取值；
③综合①②求公共解并求其整数解，再相乘．

解答 解：$\frac{k}{1-x}$+2=$\frac{3}{x-1}$，
去分母，方程两边同时乘以x-1，
-k+2（x-1）=3，
x=$\frac{5+k}{2}$≥0，
∴k≥-5①，
∵x≠1，
∴k≠-3②，
由y=x²+2x-k-1的图象与x轴无交点，则4-4（-k-1）＜0，
k＜-2③，
由①②③得：-5≤k＜-2且k≠-3，
∴k的整数解为：-5、-4，乘积是20；
故选B．

点评 本题综合考查了分式方程和抛物线与x轴的交点，对于分式方程求字母系数问题，先解方程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为0时的情况；抛物线与x轴的交点问题：由△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，①△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；③△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．