如图.已知BO是△ABC的AC边上的高.其中BO=8.AO=6.CO=4.点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动.同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动.MN交OB于点P．当M运动到点A时.点M.N同时停止运动．设点M运动时间为t．(1)线段AN的取值范围是O＜AN＜25,(2)当0＜t＜2时.①求证:MN:NP为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t．
（1）线段AN的取值范围是O＜AN＜25；
（2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
（3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

分析（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可．
（2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，用k的代数式表示MN、NP即可解决问题．②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，由△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解决问题．
（3）如图2中，当2＜t＜5时，①方法和前面类似．②当点M在OA上时，BN=5k-10．由PO∥HN，得$\frac{PO}{NH}$=$\frac{MO}{MH}$，得到PO=$\frac{8}{5}k$，根据BP=BN，列出方程即可解决．

解答解：（1）∵AC=OC+AO=10，
点M运动的速度为2单位长度/秒，
∴t=$\frac{10}{2}$=5，∵5×5=25，
∴0＜AN＜25．
故答案为0＜AN＜25．
（2）如图1中，当0＜t＜2时，
①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，

∵NH∥BO，
∴$\frac{NH}{BO}$=$\frac{AH}{AO}$，
∴AH=3K，OH=6-3k，OM=4-2k，MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴$\frac{MN}{NP}$=$\frac{MH}{OH}$=$\frac{10-5k}{6-3k}$$\frac{5}{3}$
②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
△MNP∽△MNA∽△BOA，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AB}{AO}$，
∴$\frac{10-2k}{5k}$=$\frac{10}{6}$，
∴k=$\frac{30}{31}$，
∴CM=$\frac{60}{31}$．
（3）如图2中，当2＜t＜5时，

①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，
则OH=3k-6，OM=2k-4，
∴MH=5k-10，
∵PO∥NH，
∴$\frac{MN}{NP}$=$\frac{MH}{OH}$=$\frac{5k-10}{3k-6}$=$\frac{5}{3}$．
②当点M在OA上时，BN=5k-10．
∵PO∥HN，
∴$\frac{PO}{NH}$=$\frac{MO}{MH}$，
∴PO=$\frac{8}{5}k$，
若BP=BN，则8-$\frac{8}{5}\\;k$k=5k-10，∴k=$\frac{30}{11}$，∴CM=$\frac{60}{11}$，
若PB=PN或BN=NP，∵∠PBN＞90°，∴不成立，
∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为$\frac{60}{11}$．