Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形．
（2）若EC=2ED=2x，试求△ABC的面积与四边形ACEF面积的比值．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AF=CE，点E为AB中点，易证得AF=CE=AE=EB，又由ED⊥BC，可证得∠1=∠2=∠F，证得CE∥AF，即可判定四边形ACEF是平行四边形．
（2）由EC=2ED=2x，可求得S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×2x×2

3

x=2

3

x²，S_?ACEF=AC•CD=2x•

3

x=2

3

x²，即可证得△ABC的面积与四边形ACEF面积的比值为1．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，点E为AB中点，
∴CE=AE=EB，
又∵AF=CE，
∴AF=CE=AE=EB，
又∵ED⊥BC，EB=EC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3（对顶角相等），
∵AE=AF，
∴∠3=∠F，
∴∠1=∠2=∠F，
∴CE∥AF，
∵CE=AF，
∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）解：由题意知：EC=2ED=2x，AC=2x，AB=4x，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=

(4x)2+(2x)2

=2

3

x，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×2x×2

3

x=2

3

x²，
在Rt△CDE中，∠CDE=90°，由勾股定理可得：CD=

3

x，
∴S_?ACEF=AC•CD=2x•

3

x=2

3

x²，
∴△ABC的面积与四边形ACEF面积的比值为1．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．