Question

6．如图，⊙O的弦AB、CD交于点E，点A是$\widehat{CD}$的中点，连接AC、BC，延长DC到点P，连接PB．
（1）若PB=PE，判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC²=2AE²，求证：点E是AB的中点．

Answer 1

分析 （1）根据点A是$\widehat{CD}$的中点求出∠AFE=90°，求出∠OAE+∠AED=90°，根据∠OAE=∠OBA，∠PEB=∠PBE推出∠OB+∠PBE=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的判定得出△ACE∽△ABC，得出比例式$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，求出AB=2AE，即可得出答案．

解答 解：（1）PB与⊙O相切，
理由是：连接OA、OB，OA交CD于F，

∵点A是$\widehat{CD}$的中点，
∴OA⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∴∠OAE+∠AED=90°，
∵OA=OB，PB=PE，
∴∠OAE=∠OBA，∠PEB=∠PBE，
∵∠AED=∠PEB，
∴∠OB+∠PBE=90°，即∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；

（2）∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACE=∠ABC，
∵∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AE•AB，
∵AC²=2AE²，
∴AE•AB=2AE²，
∴AB=2AE，
∴E为AB的中点．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．