Question

18．如图，某日的钱塘江观测信息如下：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示．其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：s=$\frac{1}{125}$t²+bt+c（b，c是常数）刻画．
（1）求m值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v₀+$\frac{2}{125}$（t-30），v₀是加速前的速度）．

Answer 1

分析 （1）根据起始时间结合到达乙地时间，即可求出m值，再根据速度=路程÷时间，即可求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）根据小红出发时间结合路程=速度×时间，可求出此时潮头离乙地的距离，再根据时间=路程÷二者速度和即可求出小红需多长时间与潮头相遇；
（3）根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出二次函数解析式，令潮头的速度=小红的最高速度，可求出小红开始落后的时间，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出此时潮头离开乙地的距离，再根据潮头离乙地的距离-小红离乙地的距离=1.8千米，即可求出t值，用其减去30加上潮头走完二者相遇到乙地的时间即可得出结论．

解答 解：（1）12时10分-11时40分=30分，
12÷30=0.4（千米/分）．
答：m的值为30，
∴m的值为30．潮头从甲地到乙地的速度为0.4千米/分．
（2）0.4×（30+40-59）=4.4（千米），
4.4÷（0.4+0.48）=5（分钟）．
答：小红出发五分钟后与潮头相遇．
（3）将B（30，0）、C（55，15）代入s=$\frac{1}{125}$t²+bt+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{125}×3{0}^{2}+30b+c=0}\\{\frac{1}{125}×5{5}^{2}+55b+c=15}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{2}{25}}\\{c=-\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
∴曲线BC的函数关系式为s=$\frac{1}{125}$t²-$\frac{2}{25}$t-$\frac{24}{5}$．
令0.4+$\frac{2}{125}$（t-30）=0.48，解得：t=35，
当t=35时，s=$\frac{1}{125}$t²-$\frac{2}{25}$t-$\frac{24}{5}$=2.2．
根据题意得：$\frac{1}{125}$t²-$\frac{2}{25}$t-$\frac{24}{5}$-0.48（t-35）-2.2=1.8，
整理得：t²-70t+1000=0，
解得：t=50或t=20（不合题意，舍去）．
∵0.48×5÷0.4=6（分钟），
∴50-30+6=26（分钟），
∴小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需26分钟．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）求出小红出发时潮头离乙地的距离；（3）根据二者相距1.8千米，列出关于t的一元二次方程．